黎曼积分计算上有哪些步骤
黎曼积分
高等数学上，我们会接触到定积分，而定积分还有另外一个名字叫做黎曼积分，他在数学上指的是在一个指定的区间里，存在一个非负函数，而这个函数代表的曲线和坐标轴之间会有一个特定的图形，这个图形的面积一般就被称为定积分，也被叫做黎曼积分。
黎曼图片
而为什么会用到黎曼积分，这其实和黎曼和有关，这是在求图形的函数图像和坐标轴围城图形的面积过程当中，不是采用过去的几何 *** 直接去算，而是用黎曼和去逼近，当这两个数值无限接近，那么，就可以求出我们要的结果了。
而黎曼和的计算上大致上有这样几个步骤，分割区间，求和，取极限。区间的分割不是随意的，首先要选择一个闭区间，然后才可以进行分割，对于区间的分割必须尽可能的精细，因为当所取的区间非常小的时候，非负函数的曲线就可以近视的堪为一条直线了，这样一个求面积的计算就变成了求很多个小的长方形的面积了，选择这样的 *** 来计算图形的面积，可以在允许的范围内更大限度的降低误差。并且把求一个不规则图形的面积转化成求很多个规则图形的面积。
而现在，黎曼积分在数学上几乎成为了高等数学的基础，他作为后续其他课程的基础，如果能够正确的理解极限求和的思想，在以后的高等数学中，学起来就不是很困难了。而今天我们对于积分能够有这样的认知，完全是得益于黎曼当时的研究。
黎曼简介
常常会有人问到，在数学微分几何的发展上如果没有黎曼的出现会怎样，这个假想的结果我们不敢想象，但是我们可以得知的是，黎曼在他的数学和物理研究当中得出的一些结论，对于自然科学的发展都起到了极大地推动作用。
黎曼画像
黎曼简介是从他出生开始的，他出生在一个并不富裕的家庭，父亲是小镇的一名牧师，这个喜欢安静的孩子在兄弟姐妹当中似乎显得有点特别，而即使是成年以后，由于喜欢独处，他也并没有多少朋友。最初黎曼是按照父亲的意思学习神学和哲学方面的知识的，但是由于喜欢数学，他后来转行去学数学。
雅克比和狄利克雷对于黎曼的影响非常大，在黎曼简介里，这两个人对于黎曼就是恩师一样的存在，而在这两位老师的教导下，他相继攻克了几个难题，包括当时比较出名的复变函数在什么样的条件下是可导的等，这样他在学术界有了自己的名声。随后他坚持数学研究，并且受聘于哥廷根大学作为教授。由于他在几何数学方面的研究不断取得突破，他开创了属于自己的黎曼几何学，成为了数学微分学、几何学上的有突出贡献的人。
黎曼在晚年的时候，身体状况非常差，而为了维持身体状况的良好，他多次去意大利修养，这时候黎曼和很多人开始联络的很少了，戴德金是一个联系比较密切，知道他身体情况的人，在第三次去意大利的修养的过程当中，黎曼因为肺结核离开了。
黎曼函数
说起黎曼，不能不提起他的黎曼函数。作为先后多次在数学大会上被提及的数学难题，这一函数一个多世纪以来一直是数学家们关注的焦点。说起这一函数，其提出的时间是在1859年，当时虽然距离今天已经过去了整整一个半世纪，但却一直都有着极大的影响，甚至成为现如今很多数学家研究论证的对象。
黎曼图片
而到底什么是黎曼函数呢？其实这是一种比较特殊的函数，之前并没有任何人提出过，是颇具盛名的黎曼首先提出来的。黎曼的这一函数定义在[0，1]上，而且函数中的R(x)=1/q，当x=p/q(p，q都属于正整数，p/q为既约真分数)的时候，R(x)=0，后来，这一函数在高等数学中经常被用到，对后来的学科产生了不能替代的影响，并且能够在很多情况下，用来作为反例来证明很多函数方面的命题，对世界各国的数学都有一定的影响。
而从黎曼的函数中得出来的推论也有不少。其中一个便是其函数在(0，1)内的所有无理点处处都有连续，反过来，所有的有理点处处都不连续。另外一个推论则是，该函数在区间[0，1]上是黎曼可积的。从其中也衍生出很多数学上的思索。
黎曼的函数关于无理点、有理点、连续以及不连续的说法，现在也是数学家们研究的对象。后来，还有尼日利亚的数学家对其函数进行过论证，但是并没有得到明确的证明。
黎曼的成就
黎曼大家都非常熟悉，在数学分析上，我们会学到很多关于黎曼的定理，黎曼的一生当中，可以说是研究成果非常丰富的，他出生在一个传统的牧师家庭，最初是按照父亲的意愿去学习神学，但是由于兴趣使然，后来黎曼转专业开始后研究数学。
黎曼图片
黎曼的成就在数学可以很清楚的看出来，最开始在老师狄利克雷的指导下，他论证了复变函数可导的充分条件，这是黎曼敲开了数学研究的之一块砖，而从此，黎曼开始在微分几何的相关研究上不断取得全新的进展，他也首次提出了黎曼空间的概念，把当时时代上已知的欧式和非欧式几何通通都归到了黎曼空间的范畴之中。
在贝塔函数上，黎曼的成就也非常大，他在当时他的一篇论文中之一次提到了黎曼曲面，这也是一个非常重要的发现，而把贝塔函数和贝塔积分作为一个全新的研究对象，在当时的数学史上，更是一个转折点，这样的观念对于现代代数拓扑的发展也极为重要。而在黎曼这些研究的指导下，罗赫做了一定的补充，形成了后来非常著名的黎曼罗赫定理。
虽然在数学上的研究上，黎曼可以说是功不可没，但是长时间高强度的脑力劳动对于黎曼的健康影响非常大，他在晚年的健康状况非常糟糕，并且几乎没有办法继续工作，在一次去意大利的有氧过程中，因为肺结核感染，黎曼去世了，而伴随着他的去世我们失去了一位成就卓越的数学家，但是他对于数学研究所做出来的那些贡献却伴随着现代人。
黎曼猜想
作为历史上伟大的数学家，黎曼给后人留下印象最为深刻的估计就要属黎曼猜想了。1859年，当时的黎曼刚好被选为了柏林科学院地位不一般的通信院士，而作为对这一至高荣誉的回报，当年，黎曼向学院提交了一篇论文，而这篇论文，正好成为知名的黎曼猜想的来源。
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说起黎曼的这一数学史上有名的猜想，相信很多人都不会陌生。黎曼本人提出，黎曼ζ函数的所有非平凡的零点分布都有着一定的规律，均分布在复平面上的直线上，同时，他还提出了一个结论，也就是方程ζ(s)=0的解其实部全部都是1/2。而这一猜想的提出，当时立即引起了人们高度的重视，同时也在学术界产生了非常大的影响。后来，不断在数学家大会上被提起，同时还被认为是当时数学问题的代表之一。
时隔一个半世纪之后，人们对于黎曼这一猜想的论证一直没有停止。但是，虽然有消息说来自尼日利亚的教授成功将这一问题解决了，但是却是既没有得到权威机构的否定也没有得到证实。如今，黎曼的这一猜想仍然可以说是数学上比较重要的猜想，同时也是著名的数学难题，不管怎么说，都为数学的丰富和发展做出了很大的贡献。
但现在为止，人们有的人说黎曼的这一猜想其实跳出手稿来看很容易证明其真实性，还有的人说仍然没有得到论证，但黎曼在数学历史上的地位是不一般的。
